Бекжан Бапышев родился в Восточно-Казахстанской области. В 2011 году он окончил Восточно-Казахстанский университет имени С. Аманжолова по специальности «Юриспруденция», а в 2024 году получил степень магистра в Академии государственного управления при Президенте Республики Казахстан по специальности «Государственная политика».
Трудовую деятельность Бапышев начал в аппарате акима района Алматы города Астаны. С 2013 по 2015 год работал главным специалистом в отделах производственно-технического обеспечения, жизнеобеспечения и инфраструктуры аппарата акима района Сарыарка. В 2015–2016 годах участвовал в работе комиссии по легализации имущества в районе Алматы, а позже занимал должности техника, главного специалиста и руководителя производственно-технического отдела.
В разные годы он возглавлял отдел инфраструктуры в районе Есиль города Астаны, отдел благоустройства и производственно-технического обеспечения в районе Алматы, а также работал заместителем акима района Алматы. С 2025 по 2026 год Бапышев занимал пост заместителя акима города Семей, исполнял обязанности акима города в течение шести месяцев и руководил Управлением строительства области Абай.
Непосредственно перед назначением он возглавлял Управление туризма области Абай.